已知在△ABC中，ABAC5，BC6，AD是BC边上的中线，-优题课

我省中小学积极开展综合实践活动，某校准备组织开展四项综合实践活动：“ $A$ ．我是非遗小传人， $B$ ．学做家常餐， $C$ ．爱心义卖行动， $D$ ．找个岗位去体验”．为了解学生最喜爱哪项综合实践活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次一共调查了　　名学生，在扇形统计图中， $m$ 的值是　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1200名学生，估计最喜爱 $B$ 和 $C$ 项目的学生一共有多少名？

（4）现有最喜爱 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱 $C$ 和 $D$ 项目的两位学生的概率．

在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的图象经过 $B$ ， $C$ 两点，且与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A$ ，动点 $D$ 在直线 $BC$ 下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接 $DC$ ， $DB$ ，设 $ΔBCD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值；

（3）如图2，过点 $D$ 作 $DM ⊥ BC$ 于点 $M$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDM$ 中的某个角恰好等于 $∠ ABC$ 的2倍？若存在，直接写出点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，以 $▱ ABCD$ 的较短边 $CD$ 为一边作菱形 $CDEF$ ，使点 $F$ 落在边 $AD$ 上，连接 $BE$ ，交 $AF$ 于点 $G$ ．

（1）猜想 $BG$ 与 $EG$ 的数量关系，并说明理由；

（2）延长 $DE$ 、 $BA$ 交于点 $H$ ，其他条件不变：

①如图2，若 $∠ ADC = 60 °$ ，求 $\frac{DG}{BH}$ 的值；

②如图3，若 $∠ ADC = α (0 ° < α < 90 °)$ ，直接写出 $\frac{DG}{BH}$ 的值（用含 $α$ 的三角函数表示）

某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量 $y$ （个 $)$ 与每个商品的售价 $x$ （元 $)$ 满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价 $x$ （元 $)$	$\dots$	30	40	50	$\dots$
每天的销售量 $y$ （个 $)$	$\dots$	100	80	60	$\dots$

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为 $w$ （元 $)$ ，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ， $O$ 是 $AB$ 上一点，经过 $A$ ， $E$ 两点的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，连接 $DE$ ，作 $∠ DEA$ 的平分线 $EF$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $AF$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $\sin ∠ EFA = \frac{4}{5}$ ， $AF = 5 \sqrt{2}$ ，求线段 $AC$ 的长．