计算：．-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 与边 $BC$ 、 $AC$ 分别交于 $D$ 、 $E$ 两点，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AE = 4$ ， $\cos A = \frac{2}{5}$ ，求 $DF$ 的长．

小慧根据学习函数的经验，对函数 $y = | x - 1 |$ 的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：

（1）函数 $y = | x - 1 |$ 的自变量 $x$ 的取值范围是　　；

（2）列表，找出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．

$x$	$\dots$	$- 1$	0	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	b	1	0	1	2	$\dots$

其中， $b =$ 　　；

（3）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

（4）写出该函数的一条性质：　　．

咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是　　度；

（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有　　人；

（3）在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率．

（1）计算： $| - \sqrt{3} | - \sqrt{48} + 2017^{0}$ ；

（2）解方程： $\frac{1}{2 x} = \frac{2}{x - 3}$ ．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 的边 $AD$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴的负半轴上，直线 $BC / / AD$ ，且 $BC = 3$ ， $OD = 2$ ，将经过 $A$ 、 $B$ 两点的直线 $l : y = - 2 x - 10$ 向右平移，平移后的直线与 $x$ 轴交于点 $E$ ，与直线 $BC$ 交于点 $F$ ，设 $AE$ 的长为 $t (t ⩾ 0)$ ．

（1）四边形 $ABCD$ 的面积为　　；

（2）设四边形 $ABCD$ 被直线 $l$ 扫过的面积（阴影部分）为 $S$ ，请直接写出 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式；

（3）当 $t = 2$ 时，直线 $EF$ 上有一动点 $P$ ，作 $PM ⊥$ 直线 $BC$ 于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ ，将 $ΔPMF$ 沿直线 $EF$ 折叠得到 $ΔPTF$ ，探究：是否存在点 $P$ ，使点 $T$ 恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．