如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，-优题课

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半径．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：相似多边形的性质解直角三角形

在平面直角坐标系中，二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，连接 $AC$ ， $PA$ ， $PC$ ，若 $S_{ΔPAC} = \frac{15}{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图乙，过 $A$ ， $B$ ， $P$ 三点作 $⊙ M$ ，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ，交 $⊙ M$ 于点 $E$ ．点 $P$ 在运动过程中线段 $DE$ 的长是否变化，若有变化，求出 $DE$ 的取值范围；若不变，求 $DE$ 的长．

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AD$ 和 $BC$ 分别切 $⊙ O$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $CD$ 与 $⊙ O$ 有公共点 $E$ ，且 $AD = DE$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AB = 12$ ， $BC = 4$ ，求 $AD$ 的长．

列方程（组 $)$ 解应用题

某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为 $600 m^{2}$ 的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长 $35 m$ ，另外三面用 $69 m$ 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 $1 m$ 宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

如图所示，某建筑物楼顶有信号塔 $EF$ ，卓玛同学为了探究信号塔 $EF$ 的高度，从建筑物一层 $A$ 点沿直线 $AD$ 出发，到达 $C$ 点时刚好能看到信号塔的最高点 $F$ ，测得仰角 $∠ ACF = 60 °$ ， $AC$ 长7米．接着卓玛再从 $C$ 点出发，继续沿 $AD$ 方向走了8米后到达 $B$ 点，此时刚好能看到信号塔的最低点 $E$ ，测得仰角 $∠ B = 30 °$ ．（不计卓玛同学的身高）求信号塔 $EF$ 的高度（结果保留根号）．

某校组织开展运动会，小明和扎西两名同学准备从100米短跑（记为项目 $A)$ ，800米中长跑（记为项目 $B)$ ，跳远（记为项目 $C)$ ，跳高（记为项目 $D)$ ，即从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个项目中，分别选择一个项目参加比赛．请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率．

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