已知直线
与椭圆
相交于
两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段
的长；
（Ⅱ）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆的长轴长的最大值．
如图，已知矩形
所在平面垂直于直角梯形
所在平面于直线
，且
，
且
∥
．
（Ⅰ）设点
为棱
中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）线段上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得
分，负者得
分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为
，甲班胜丙班的概率为
，乙班胜丙班的概率为
．
（Ⅰ）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲班得分为
，求的分布列和数学期望．
已知
，其中
，
，
．
（Ⅰ）求
的单调递减区间；
（Ⅱ）在
中，角
所对的边分别为
，
，
，且向量
与
共线，求边长
和
的值．
选修
：不等式选讲
设
．
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）若存在实数
满足
，试求实数
的取值范围．
均为正实数，并且
，求证：