在中，已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的面积.-优题课

在直角坐标 $x O y$ 中，圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} : (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ .
(Ⅰ)在以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程，并求出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆 $C_{1}, C_{2}$ 的公共弦的参数方程.

如图，圆 $O$ 和圆 $O^{`}$ 相交于 $A, B$ 两点，过 $A$ 作两圆的切线分别交两圆于 $C, D$ 两点，连接 $D B$ 并延长交圆 $O$ 于点 $E$ 。证明：
(Ⅰ) $A C \cdot B D = A D \cdot A B$ ；
(Ⅱ) $A C = A E$ 。

设 $f (x) = \ln x + \sqrt{x} - 1$ ，证明：
(Ⅰ)当 $x > 1$ 时， $f (x) < \frac{3}{2} (x - 1)$ ；
(Ⅱ)当 $1 < x < 3$ 时， $f (x) < \frac{9 (x - 1)}{x + 5}$ 。

如图,动圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = t^{2}, 1 < t < 3$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 相交于 $A, B, C, D$ 四点,点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{2}$ 的左,右顶点.
(Ⅰ)当 $t$ 为何值时，矩形 $A B C D$ 的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(Ⅱ)求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 $M$ 的轨迹方程.

电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷"，已知"体育迷"中有10名女性。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？

	非体育迷	体育迷	合计
男
女
合计

(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为"超级体育迷"，已知"超级体育迷"中有2名女性，若从"超级体育迷"中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

$P (x^{2} \geq k)$	0.05	0.01
$k$	3.841	6.635

附 $X^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$