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为了加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛,某中学举行了选拔赛,共有150名学生参加,为了了解成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:

(Ⅰ)完成频率分布表(直接写出结果),并作出频率分布直方图;
(Ⅱ)若成绩在95.5分以上的学生为一等奖,试估计全校获一等奖的人数,现在从全校所有一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加决赛,某班共有2名同学荣获一等奖,求该班同学参加决赛的人数恰为1人的概率.

科目 数学   题型 解答题   难度 中等
知识点: 误差估计
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某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A , B 两种奶制品.生产1吨 A 产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨 B 产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的2倍,设备每天生产 A , B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 W (单位:吨)是一个随机变量,其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单位:元)是一个随机变量.

image.png

(Ⅰ)求 Z 的分布列和均值;
(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.

《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马 P - A B C D 中,侧棱 P D 底面 A B C D ,且 P D = C D ,过棱 P C 的中点 E ,作 E F P B P B 于点 F ,连接 D E , D F , B D , B E .

image.png

(Ⅰ)证明: P B 平面 D E F .试判断四面体 D B E F 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面 D E F 与面 A B C D 所成二面角的大小为 π 3 ,求 D C B C 的值.

设等差数列 a n 的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,等比数列 b n 的公比为 q .已知 b 1 = a 1 , b 2 = 2 , q = d , S 10 = 100
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)当 d > 1 时,记 c n = a n b n ,求数列 c n 的前 n 项和 T n

某同学用"五点法"画函数 f ( x ) = A sin ( ω x + φ ) ( ω > 0 , φ < π 2 ) 在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

image.png

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ)将 y = f ( x ) 图象上所有点向左平行移动 θ ( θ > 0 ) 个单位长度,得到 y = g ( x ) 的图象.若 y = g ( x ) 图象的一个对称中心为 ( 5 π 12 , 0 ) ,求 θ 的最小值.

a 为实数,函数 f x = x + a 2+ x - a -a a - 1
(1)若 f 0 1 ,求 a 的取值范围;
(2)讨论 f x 的单调性;
(3)当 a2 时,讨论 f x + 4 x 在区间 0 , + 内的零点个数.

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