已知数列及其前项和满足：（，）.（1）证明：设，是等差数列；-优题课

已知数列及其前项和满足：（，）.
（1）证明：设，是等差数列；
（2）求及；
（3）判断数列是否存在最大或最小项，若有则求出来，若没有请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：等比数列数列综合

小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4} ， A_{5} ， A_{6}$ （如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ ，若 $X > 0$ 就去打球，若 $X = 0$ 就去唱歌，若 $X < 0$ 就去下棋。
（1）写出数量积 $X$ 的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\sin A \sin B + \sin B \sin C + 2 \cos 2 B = 1$ .

（1）求证： $a, b, c$ 成等差数列；

（2）若 $C = \frac{2}{3} π$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

正项数列 $\{a_{n}\} 满足 {a_{n}}^{2} - (2 n - 1) a_{n} - 2 n = 0$ .

$(1) 求数列 \{a_{n}\} 通项公式 a_{n}; (2) 令 b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}, 求数列 \{b_{n}\} 前 n 项的和 T_{n} .$

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心在坐标原点 $O$ ，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m$ ， $2 n (m > n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ ，记 $λ = \frac{π}{n}$ ， $∆ B D M$ 和 $∆ A B M$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（2）当 $λ$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ ，使得 $S_{1} = λ S_{2}$ ？并说明理由．

设 $a > 0, b > 0$ ，已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x + 1}$ ．
（Ⅰ）当 $a \neq b$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）当 $x > 0$ 时，称 $f (x)$ 为 $a, b$ 关于 $x$ 的加权平均数．
（1）判断 $f (1), f (\sqrt{\frac{b}{a}}), f (\frac{b}{a})$ 是否成等比数列，并证明 $f (\frac{b}{a}) \leq f (\sqrt{\frac{b}{a}})$ ；
（2） $a, b$ 的几何平均数记为 $G$ ．称 $\frac{2 a b}{a + b}$ 为 $a, b$ 的调和平均数，记为 $H$ ．若 $H \leq f (x) \leq G$ ，求 $x$ 的取值范围．

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