已知抛物线
与双曲线
有公共焦点
，点
是曲线
在第一象限的交点，且
．
（1）求双曲线
的方程；
（2）以双曲线的另一焦点
为圆心的圆
与直线
相切，圆
.过点
作互相垂直且分别与圆、圆
相交的直线
和
，设被圆截得的弦长为
，被圆截得的弦长为
，问：
是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【原创】（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表1所示
表1
| 参加社团活动 |
不参加社团活动 |
合计 |
|
| 学习积极性高 |
17 |
8 |
25 |
| 学习积极性一般 |
5 |
20 |
25 |
| 合计 |
22 |
28 |
50 |
（1）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？
（2）运用独立检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．
 |
0．05 |
0．01 |
0．001 |
 |
3．841 |
6．635 |
10．828 |
【改编】（本小题满分12分）已知函数
．
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（2）当
时，求函数的值域．
【原创】（本小题满分13分）已知函数
，其中
为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）试探究当
时，方程
解的个数，并说明理由．
（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
:
，设
是椭圆上的任一点，从原点
向圆
：
作两条切线，分别交椭圆于点
，
．
（1）若直线
，
互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为
，
，求证：
；
（3）试问
是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
（本小题满分12分）已知数列
是递增的等差数列，
，
是方程
的两根．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
．