如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O-优题课

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，某商店营业大厅自动扶梯 $AB$ 的倾斜角为 $31 °$ ， $AB$ 的长为12米，求大厅两层之间的距离 $BC$ 的长．（结果精确到0.1米）（参考数据： $\sin 31 ° = 0.515$ ， $\cos 31 ° = 0.857$ ， $\tan 31 ° = 0.60)$

一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 $a$ ， $b$ ， $c$ ，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上， $OB$ 的长度为 $2 m$ ，以 $OB$ 为边向上作等边三角形 $AOB$ ，抛物线 $l : y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点

（1）当 $m = 2$ 时， $a =$ 　　，当 $m = 3$ 时， $a =$ 　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想 $a$ 与 $m$ 的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $l$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点， $PQ$ 的长度为 $2 n$ ，当 $ΔAPQ$ 为等腰直角三角形时， $a$ 和 $n$ 的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求 $ΔAOB$ 与 $ΔAPQ$ 的面积比．

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AC = 8 \sqrt{2} cm$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to C$ 方向以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度运动到点 $C$ 停止，在运动过程中，过点 $P$ 作 $PQ / / AB$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，以线段 $PQ$ 为边作等腰直角三角形 $PQM$ ，且 $∠ PQM = 90 °$ （点 $M$ ， $C$ 位于 $PQ$ 异侧）．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $ΔPQM$ 与 $ΔADC$ 重叠部分的面积为 $y (c m^{2})$

（1）当点 $M$ 落在 $AB$ 上时， $x =$ 　　；

（2）当点 $M$ 落在 $AD$ 上时， $x =$ 　　；

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（1）如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以点 $B$ 为中心，把 $ΔABC$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{1} B C_{1}$ ；再以点 $C$ 为中心，把 $ΔABC$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B_{1} C$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，则 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系为　　；

（2）如图2，当 $ΔABC$ 是锐角三角形， $∠ ABC = α (α \neq 60 °)$ 时，将 $ΔABC$ 按照（1）中的方式旋转 $α$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，探究 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接 $B_{1} B$ ，若 $C_{1} B_{1} = \frac{2}{3} BC$ ，△ $C_{1} B B_{1}$ 的面积为4，则△ $B_{1} BC$ 的面积为　　．

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