（阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E-优题课

（阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．

求证：AB=CD.
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

如图，在平面直角坐标 $xOy$ 中，正比例函数 $y = kx$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象都经过点 $A (2, - 2)$ ．

（1）分别求这两个函数的表达式；

（2）将直线 $OA$ 向上平移3个单位长度后与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与反比例函数图象在第四象限内的交点为 $C$ ，连接 $AB$ ， $AC$ ，求点 $C$ 的坐标及 $ΔABC$ 的面积．

在四张编号为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．

（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示）；

（2）我们知道，满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的三个正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ 成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．

在学习完“利用三角函数测高”这节内容之后，某兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动，如图，在测点 $A$ 处安置测倾器，量出高度 $AB = 1.5 m$ ，测得旗杆顶端 $D$ 的仰角 $∠ DBE = 32 °$ ，量出测点 $A$ 到旗杆底部 $C$ 的水平距离 $AC = 20 m$ ，根据测量数据，求旗杆 $CD$ 的高度．（参考数据： $\sin 32 ° \approx 0.53$ ， $\cos 32 ° \approx 0.85$ ， $\tan 32 ° \approx 0.62)$

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = m x^{2} + 4 mx - 5 m (m < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），该抛物线的对称轴与直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 相交于点 $E$ ，与 $x$ 轴相交于点 $D$ ，点 $P$ 在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上（不与原点重合），连接 $PD$ ，过点 $P$ 作 $PF ⊥ PD$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $DF$ ．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 $6 \sqrt{3}$ ，求抛物线的解析式；

（2）求 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点 $P$ 的位置发现：当点 $P$ 与点 $E$ 重合时， $∠ PDF$ 的大小为定值，进而猜想：对于直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上任意一点 $P$ （不与原点重合）， $∠ PDF$ 的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从 $A$ 地到 $B$ 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的 $C$ 处有一大型油库，现测得油库 $C$ 在 $A$ 地的北偏东 $60 °$ 方向上，在 $B$ 地的西北方向上， $AB$ 的距离为 $250 (\sqrt{3} + 1)$ 米．已知在以油库 $C$ 为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库 $C$ 是否会受到影响？请说明理由．

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