在直角坐标系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为
,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(Ⅰ)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(Ⅱ)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
(本小题满分12分)在数列、
中,
的前
项和为
,点
、
分别在函数
及函数
的图象上.
(Ⅰ)求数列、
的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列
的前
项和
.
(本小题满分12分)已知,在中,角
的对边分别是
,若
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,
,求
的最大值和最小值.
(本小题满分12分)如图,边长为2的正方形ABCD中,E是边的中点,F是BC边上的一点,对角线AC分别交DE、DF于M、N两点,将
及
折起,使A、C重合于
点,构成如图所示的几何体.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若∥平面
,求三棱锥
的体积
.
(本小题满分12分)某市为了解全市居民日常用水量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了n位居民某年的月均用水量(单位:t),样本统计结果如下图表:
分组 |
频数 |
频率 |
[0,1) |
25 |
y |
[1,2) |
0.19 |
|
[2,3) |
50 |
x |
[3,4) |
0.23 |
|
[4,5) |
0.18 |
|
[5,6] |
5 |
(Ⅰ)分别求出x,n,y的值;
(Ⅱ)若从样本中月均用水量在[5,6]内的5位居民a,b,c,d,e中任选2人作进一步的调查研究,求居民a被选中的概率.
(本小题满分16分)在直角坐标平面中,的两个顶点为
,平面内两点
同时满足:
为
的重心;
到
三点
的距离相等;
直线
的倾斜角为
.
(1)求证:顶点在定椭圆
上,并求椭圆
的方程;
(2)设都在曲线
上,点
,直线
都过点
并且相互垂直,求四边形
的面积
的最大值和最小值.