已知：如图，是⊙的直径，是⊙外一点，过点作的垂线，交的延长线-优题课

在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 $EF$ ；③ $T$ 型尺 $(CD$ 所在的直线垂直平分线段 $AB)$ ．

（1）在图1中，请你画出用 $T$ 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；

（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：

将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$ ， $N$ 之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得 $MN = 10 m$ ，请你求出这个环形花坛的面积．

某校开展研学旅行活动，准备去的研学基地有 $A$ （曲阜）、 $B$ （梁山）、 $C$ （汶上）， $D$ （泗水），每位学生只能选去一个地方，王老师对本班全体同学选取的研学基地情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

（1）求该班的总人数，并补全条形统计图．

（2）求 $D$ （泗水）所在扇形的圆心角度数；

（3）该班班委4人中，1人选去曲阜，2人选去梁山，1人选去汶上，王老师要从这4人中随机抽取2人了解他们对研学基地的看法，请你用列表或画树状图的方法，求所抽取的2人中恰好有1人选去曲阜，1人选去梁山的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 过 $A (2, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线与抛物线上的另一个交点为 $D$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．点 $P$ 是该抛物线上一动点，设点 $P$ 的横坐标为 $m (m > 4)$ ．

（1）求该抛物线的表达式和 $∠ ACB$ 的正切值；

（2）如图2，若 $∠ ACP = 45 °$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图3，过点 $A$ 、 $P$ 的直线与 $y$ 轴于点 $N$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ CD$ ，垂足为 $M$ ，直线 $MN$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，试判断四边形 $ADMQ$ 的形状，并说明理由．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，以 $CA$ 为边在 $∠ ACB$ 的另一侧作 $∠ ACM = ∠ ACB$ ，点 $D$ 为射线 $BC$ 上任意一点，在射线 $CM$ 上截取 $CE = BD$ ，连接 $AD$ 、 $DE$ 、 $AE$ ．

（1）如图1，当点 $D$ 落在线段 $BC$ 的延长线上时，直接写出 $∠ ADE$ 的度数；

（2）如图2，当点 $D$ 落在线段 $BC$ （不含边界）上时， $AC$ 与 $DE$ 交于点 $F$ ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若 $AB = 6$ ，求 $CF$ 的最大值．

如图，直线 $y = ax + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, b)$ ．将线段 $AB$ 先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t (t > 0)$ 个单位长度，得到对应线段 $CD$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象恰好经过 $C$ 、 $D$ 两点，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

（1）求 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $ABDC$ 的面积；

（3）点 $N$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $M$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上的一个点，若 $ΔCMN$ 是以 $CM$ 为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$ 的坐标．