设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6， 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.
（1）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（2）记
表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望.
（本小题满分14分）已知函数
，过点
作曲线
的两条切线
，
，切点分别为
，
．
（1）当
时，求函数
的单调递增区间；
（2）设
，求函数
的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内，总存在
个数
使得不等式
成立，求
的最大值．
（本小题满分14分）已知抛物线
的焦点
以及椭圆
的上、下焦点及左、右顶点均在圆
上．
（1）求抛物线
和椭圆
的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于
两不同点，交
轴于点
，已知
，
，求
的值；
（3）直线
交椭圆于
两不同点，在
轴的射影分别为
，
，若点
满足
，证明：点在椭圆上．
（本小题满分14分）
已知数列
的前
项和
，且
．
（1）求数列的通项公式；
（2）令
，是否存在
，使得
、
、
成等比数列．若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．
（本小题满分14分）三棱柱
的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，
为
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的正切值．
（本小题满分12分） 惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为
，求的分布列和数学期望；
（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到
个新球的概率．
参考公式：互斥事件加法公式：
（事件
与事件
互斥）．
独立事件乘法公式：
（事件与事件相互独立）．
条件概率公式：
．