如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
如图,四面体中,
、
分别是
、
的中点,
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求异面直线与
所成角余弦值的大小;
(Ⅲ)求点到平面
的距离.
某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到频率分布表如下表所示。
组号 |
分组 |
频数 |
频率 |
第一组 |
[160,165) |
5 |
0.05 |
第二组 |
[165,170) |
35 |
0.35 |
第三组 |
[170,175) |
30 |
a |
第四组 |
[175,180) |
b |
0.2 |
第五组 |
[180,185) |
10 |
0.1 |
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试,求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试;考生李翔的笔试成绩为178分,但不幸没入选这100人中,那这样的筛选方法对该生而言公平吗?为什么?
(Ⅲ)在(2)的前提下,学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试,设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为,求
的分布列和数学期望.
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期;
(Ⅱ)设的内角
、
、
的对边分别为
、
、
且
,
,若向量
与向量
共线,求
、
的值.
已知函数的定义域是
,
是
的导函数,且
在
内恒成立.
求函数的单调区间;
若,求
的取值范围;
(3)设是
的零点,
,求证:
.
已知抛物线的焦点
以及椭圆
的上、下焦点及左、右顶点均在圆
上.
(1)求抛物线和椭圆
的标准方程;
(2)过点的直线交抛物线
于
两不同点,交
轴于点
,已知
,则
是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.