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题文

已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R.
(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围;
(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难
知识点: 函数的基本性质
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在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为 ( 2 , π 4 ) ,直线 l 的极坐标方程为 ρ cos ( θ - π 4 ) = a ,且点 A 在直线 l 上。
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
(Ⅱ)圆 C 的参数方程为 { x = 1 + cos a y = sin a ( a 为参数 ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

已知直线 l : a x + y = 1 在矩阵 A = 1 2 0 1 对应的变换作用下变为直线 l 1 : x + b y = 1

(I)求实数 a , b 的值
(II)若点 P ( x o , y o ) 在直线 l 上,且 A x o y o = x o y o ,求点 P 的坐标

已知函数 f x = sin ω x + φ ω > 0 , 0 < φ < π 的周期为 π ,图象的一个对称中心为 π 4 , 0 ,将函数 f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个 π 2 单位长度后得到函数 g x 的图象。
(Ⅰ)求函数 f x g x 的解析式
(Ⅱ)是否存在 x 0 π 6 , π 4 ,使得 f x 0 , g x 0 , f x 0 g x 0 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x 0 的个数,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)求实数 a 与正整数 n ,使得 F x = f x + a g x 0 , n π 内恰有2013个零点.

如图,在四棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中,侧棱 A A 1 底面 A B C D , A B D C , A A 1 = 1 , A B = 3 k , A D = 4 k , B C = 5 k , D C = 6 k , k > 0

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(Ⅰ)求证: C D 平面 A D D 1 A 1 .

(Ⅱ)若直线 A A 1 与平面 A B 1 C 所成角的正弦值为 6 7 ,求 k 的值.

(Ⅲ)现将与四棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f k ,写出 f k 的解析式。(直接写出答案,不必说明理由).

如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , , A 9 B 1 , B 2 , , B 9 ,连接 O B i ,过 A i x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i N * , 1 i 9 )

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(1)求证:点 P i ( i N * , 1 i 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程;
(2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 O C M O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。

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