设,
分别是椭圆
:
的左、右焦点,过
作倾斜角为
的直线交椭圆
于
,
两点,
到直线
的距离为
,连接椭圆
的四个顶点得到的菱形面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设
是椭圆
上的一点,过
、
两点的直线
交
轴于点
,若
, 求
的取值范围;
(3)作直线与椭圆
交于不同的两点
,
,其中
点的坐标为
,若点
是线段
垂直平分线上一点,且满足
,求实数
的值.
如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC, ABC=
,AB=2
,BC=2AE=4,
是等腰三角形.
(Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC;
(Ⅱ)求四棱锥P—ACDE的体积.
2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》。其中规定:居民区的PM2.5(大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 |
PM2.5浓度 (微克/立方米 |
频数(天) |
频率 |
第一组 |
(0,25] |
5 |
0.25 |
第二组 |
(25,50] |
10 |
0.5 |
第三组 |
(50,75] |
3 |
0.15 |
第四组 |
(75,100) |
2 |
0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求样本平均数,并根据用样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.
在如图所示的平面直角坐标系中,已知点和点
,
,且
,其中
为坐标原点.
(Ⅰ)若,设点
为线段
上的动点,求
的最小值;
(Ⅱ)若,向量
,
,求
的最小值及对应的
值.
已知圆的方程为,过点
作圆的两条切线,切点分别为
、
,直线
恰好经过椭圆
的右顶点和上顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆
(
垂直于
轴的一条弦,
所在直线的方程为
且
是椭圆上异于
、
的任意一点,直线
、
分别交定直线
于两点
、
,求证
.
已知函数在点
处的切线方程为
,且对任意的
,
恒成立.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)求实数的最小值;
(Ⅲ)求证:(
).