已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切.(1)求圆的标准-优题课

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200$ 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 $20$ 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 $p (0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记 $20$ 件产品中恰有 $2$ 件不合格品的概率为 $f (p)$ ,求 $f (p)$ 的最大值点 $p_{0}$ ；

（2）现对一箱产品检验了 $20$ 件，结果恰有 $2$ 件不合格品，以（1）中确定的 $p_{0}$ 作为 $p$ 的值．已知每件产品的检验费用为 $2$ 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25$ 元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$ ，求 $EX$ ;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2, 0)$ .

（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $AM$ 的方程；

（2）设 $O$ 为坐标原点，证明： $∠ OMA = ∠ OMB$ .

如图，四边形 $ABCD$ 为正方形， $E, F$ 分别为 $AD, BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF ⊥ BF$ .

（1）证明：平面 $PEF ⊥$ 平面 $ABFD$ ；

（2）求 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.

在平面四边形 $ABCD$ 中， $∠ ADC = 9 0^{\circ}$ ， $∠ A = 4 5^{\circ}$ ， $AB = 2$ ， $BD = 5$ .

（1）求 $\cos ∠ ADB$ ；

（2）若 $DC = 2 \sqrt{2}$ ，求 $BC$ .

设函数 $f (x) = 5 - |x + a| - |x - 2|$ .

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

（2）若 $f (x) \leq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.