高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施.某初级-优题课

高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施.某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）该校近四年保送生人数的极差是　　　　Ｗ.请将折线统计图补充完整；
（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进入高中阶段的学习情况.请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.

科目数学题型解答题难度中等

如图， $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $CD$ 的中点，延长 $AE$ 交 $BC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔADE ≅ ΔFCE$ ．

（2）若 $∠ BAF = 90 °$ ， $BC = 5$ ， $EF = 3$ ，求 $CD$ 的长．

为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题：

（1）求“非常了解”的人数的百分比．

（2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人？

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ $\sqrt{()}$ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘常数 $k$ ，再加上常数 $b$ ”的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图 $a)$ ．

也可用图象描述：如图1，在 $x$ 轴上表示出 $x_{1}$ ，先在直线 $y = kx + b$ 上确定点 $(x_{1}$ ， $y_{1})$ ，再在直线 $y = x$ 上确定纵坐标为 $y_{1}$ 的点 $(x_{2}$ ， $y_{1})$ ，然后在 $x$ 轴上确定对应的数 $x_{2}$ ， $\dots$ ，以此类推．

【解决问题】研究输入实数 $x_{1}$ 时，随着运算次数 $n$ 的不断增加，运算结果 $x_{n}$ ，怎样变化．

（1）若 $k = 2$ ， $b = - 4$ ，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若 $k > 1$ ，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若 $k = - \frac{2}{3}$ ， $b = 2$ ，已在 $x$ 轴上表示出 $x_{1}$ （如图2所示），请在 $x$ 轴上表示 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，并写出研究结论；

②若输入实数 $x_{1}$ 时，运算结果 $x_{n}$ 互不相等，且越来越接近常数 $m$ ，直接写出 $k$ 的取值范围及 $m$ 的值（用含 $k$ ， $b$ 的代数式表示）

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．

（1）三等角四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，求 $∠ A$ 的取值范围；

（2）如图，折叠平行四边形纸片 $DEBF$ ，使顶点 $E$ ， $F$ 分别落在边 $BE$ ， $BF$ 上的点 $A$ ， $C$ 处，折痕分别为 $DG$ ， $DH$ ．求证：四边形 $ABCD$ 是三等角四边形．

（3）三等角四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，若 $CB = CD = 4$ ，则当 $AD$ 的长为何值时， $AB$ 的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线 $AC$ 的长．

为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到 $0.1)$ ；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示．

分组	频数
$4.0 ⩽ x < 4.2$	2
$4.2 ⩽ x < 4.4$	3
$4.4 ⩽ x < 4.6$	5
$4.6 ⩽ x < 4.8$	8
$4.8 ⩽ x < 5.0$	17
$5.0 ⩽ x < 5.2$	5

（1）求所抽取的学生人数；

（2）若视力达到4.8及以上为达标，估计活动前该校学生的视力达标率；

（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度分析活动前后相关数据，并评价视力保健活动的效果．