在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左焦点为
，左、右顶点分别为
，上顶点为
，过
三点作圆
（Ⅰ）若线段
是圆的直径，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若圆的圆心在直线
上，求椭圆的方程;
（Ⅲ）若直线
交（Ⅱ）中椭圆于
，交
轴于
，求
的最大值
已知
在
与
处都取得极值.
（Ⅰ） 求
，
的值；
（Ⅱ）设函数
，若对任意的
，总存在
，使得、
，求实数
的取值范围.
如图所示，四棱锥
,底面
是边长为
的正方形，
⊥面，
,过点
作
,连接
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若面
交侧棱
于点
，求多面体
的体积.
受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐. 在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度
是时间
，单位：
的函数，记作：
，下表是该港口在某季每天水深的数据：
经过长期观察
的曲线可以近似地看做函数
的图象.
（Ⅰ）根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为
以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为
，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
已知数列
满足：
，
(Ⅰ) 求证：数列
是等差数列并求的通项公式；
（Ⅱ） 设
，求证：
.
，
，
．
，试判断并用定义证明函数
的单调性；
时，求证函数