2013年9月20日是第25个全国爱牙日。某区卫生部门成立了-优题课

题文

2013年9月20日是第25个全国爱牙日。某区卫生部门成立了调查小组，调查 “常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名.
（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？
（2）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

	0.010	0.005	0.001
	6.635	7.879	10.828

附：

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椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, a + b = 3$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）如图， $A, B, D$ 是椭圆 $C$ 的顶点， $P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $D P$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，直线 $A D$ 交 $B P$ 于点 $M$ .设 $B P$ 的斜率为 $k$ ， $M N$ 的斜率为 $m$ .证明： $2 m - k$ 为定值.

如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ， $E$ 为 $C D$ 上一点， $D E = 1$ ， $E C = 3$

（1）证明： $B E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）求点 $B_{1}$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离。

小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4} ， A_{5} ， A_{6}$ （如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ ，若 $X > 0$ 就去打球，若 $X = 0$ 就去唱歌，若 $X < 0$ 就去下棋。
（1）写出数量积 $X$ 的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\sin A \sin B + \sin B \sin C + 2 \cos 2 B = 1$ .

（1）求证： $a, b, c$ 成等差数列；

（2）若 $C = \frac{2}{3} π$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值.

正项数列 $\{a_{n}\} 满足 {a_{n}}^{2} - (2 n - 1) a_{n} - 2 n = 0$ .

$(1) 求数列 \{a_{n}\} 通项公式 a_{n}; (2) 令 b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}, 求数列 \{b_{n}\} 前 n 项的和 T_{n} .$

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