设实数满足，求证：．-优题课

设 $f_{n} (x) = x + x^{2} + \dots + x^{n} - 1, n \in N, n \geq 2$ .

（Ⅰ）求 ${f^{`}}_{n} (2)$ ；
（Ⅱ）证明： $f_{n} (x)$ 在 $(0, \frac{2}{3})$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_{n}$ ），且 $0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

如图，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0, - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）经过点，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同两点 $P, Q$ （均异于点 $A$ ），证明：直线 $A P$ 与 $A Q$ 的斜率之和为2.

随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ B A D = \frac{π}{2}, A B = B C = \frac{1}{2} A D = a,$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $O$ 是 $O C$ 与 $B E$ 的交点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到图2中 $△ A_{1} B E$ 的位置，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ .

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；
（Ⅱ）当平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ 时，四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积为 $36 \sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值.

$∆ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\overset{⇀}{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行.
（Ⅰ）求 $A$ ；
（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}, b = 2$ ,求 $∆ A B C$ 的面积.