在平面直角系中，已知曲线为参数，将上的所有点的横坐标、纵坐标-优题课

在平面直角系中，已知曲线为参数，将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标，已知直线.
（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点P，使点到直线的距离最小，并求此最小值.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：参数方程

设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ .

（1）当 $b = \frac{a^{2}}{4} + 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最小值 $g (a)$ 的表达式；
（2）已知函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上存在零点， $0 \leq b - 2 a \leq 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

如图，已知抛物线 $C_{1} : y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，过点 $P (t, 0) (t > 0)$ 作不过原点 $O$ 的直线 $P A$ ， $P B$ 分别与抛物线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相切， $A, B$ 为切点.

（1）求点 $A, B$ 的坐标；
（2）求 $△ P A B$ 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

如图，在三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90^{°}, A B = A C = 2, A A_{1} = 4,$ $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 的中点， $D$ 为 $B_{1} C_{1}$

（1）证明： $A_{1} D ⊥ 平面 A_{1} B C$ ；
（2）求直线 $A_{1} B$ 和平面 $B B_{1} C C_{1}$ 所成的角的正弦值.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足， $a_{1} = 2, b_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{+})$

$b_{1} + \frac{1}{2} b_{2} + \frac{1}{3} b_{3} + \dots + \frac{1}{n} b_{n} = b_{n + 1} - 1 (n \in N^{+})$ .
（1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；
（2）记数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\tan (\frac{π}{4} + A) = 2$ .
（1）求 $\frac{\sin 2 A}{\sin 2 A + \cos^{2} A}$ 的值；
（2）若 $B = \frac{π}{4}, a = 3$ ,求 $△ A B C$ 的面积.

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