如图，△ABC中，ABAC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，-优题课

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）当∠B的度数是多少时，DE∥AB？并说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 2$ ，弦 $AC$ 与弦 $BD$ 交于点 $E$ ．且 $OD ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）如图1，如果 $AC = BD$ ，求弦 $AC$ 的长；

（2）如图2，如果 $E$ 为弦 $BD$ 的中点，求 $∠ ABD$ 的余切值；

（3）联结 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ ，如果 $BC$ 是 $⊙ O$ 的内接正 $n$ 边形的一边， $CD$ 是 $⊙ O$ 的内接正 $(n + 4)$ 边形的一边，求 $ΔACD$ 的面积．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图）．已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (0, \frac{5}{2})$ ，顶点为 $C$ ，点 $D$ 在其对称轴上且位于点 $C$ 下方，将线段 $DC$ 绕点 $D$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，点 $C$ 落在抛物线上的点 $P$ 处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段 $CD$ 的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点 $C$ 移到原点 $O$ 的位置，这时点 $P$ 落在点 $E$ 的位置，如果点 $M$ 在 $y$ 轴上，且以 $O$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $M$ 为顶点的四边形面积为8，求点 $M$ 的坐标．

已知：如图，正方形 $ABCD$ 中， $P$ 是边 $BC$ 上一点， $BE ⊥ AP$ ， $DF ⊥ AP$ ，垂足分别是点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $EF = AE - BE$ ；

（2）连接 $BF$ ，如果 $\frac{AF}{BF} = \frac{DF}{AD}$ ．求证： $EF = EP$ ．

一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 $y$ （升 $)$ 与行驶路程 $x$ （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；（不需要写定义域）

（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = BC = 5$ ， $\tan ∠ ABC = \frac{3}{4}$ ．

（1）求边 $AC$ 的长；

（2）设边 $BC$ 的垂直平分线与边 $AB$ 的交点为 $D$ ，求 $\frac{AD}{DB}$ 的值．

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