如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，-优题课

如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：空间向量基本定理及坐标表示

已知 $P$ 为半圆 $C$ : ${\begin{matrix} x = \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ ( $θ$ 为参数， $0 \leq θ \leq π$ ）上的点，点 $A$ 的坐标为（1,0）， $O$ 为坐标原点，点 $M$ 在射线 $O P$ 上，线段 $O M$ 与 $C$ 的弧 $\overset{⏜}{A P}$ 的长度均为 $\frac{π}{3}$ 。
（I）以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 $M$ 的极坐标；
（II）求直线 $A M$ 的参数方程。

如图， $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ 的延长线交它的外接圆于点 $E$ .
（I）证明： $△ A B E ~ △ A D C$ ;

（II）若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} A D \cdot A E$ ，求 $∠ B A C$ 的大小.

已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + a x^{2} + 1$

（I）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $a < - 1$ .如果对任意 $x_{1}, x_{2 \in (0, + \infty)}$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq 4 |x_{1} - x_{2}|$ ，求 $a$ 的取值范围。

设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为60^o, $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$

(I)求椭圆 $C$ 的离心率；
(II)如果 $|A B| = \frac{15}{4}$ ，求椭圆 $C$ 的方程.

已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B C, A B ⊥ A C, P A = A C = \frac{1}{2} A B$ , $N$ 为 $A B$ 上一点， $A B = 4 A N, M, S$ 分别为 $P B, B C$ 的中点.

（Ⅰ）证明： $C M ⊥ S N$

（Ⅱ）求 $S N$ 与平面 $C M N$ 所成角的大小.

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