某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这-优题课

题文

某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．
(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：不定方程和方程组复合三角函数高阶矩阵与特征向量

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已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2, a_{4} + b_{4} = 27$ ， $S_{4} - b_{4} = 10$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = a_{n} b_{1} + a_{n - 1} b_{2} + \dots + a_{1} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明 $T_{n} + 12 = - 2 a_{n} + 10 b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A C ⊥ A D, A B ⊥ B C, ∠ B A C = 45^{°}, P A = A D = 2, A C = 1$ .
（Ⅰ）证明 $P C ⊥ A D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $P A$ 上的点，满足异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，求 $A E$ 的长.

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用 $X, Y$ 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 $ξ = |X - Y|$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望 $E ξ$ .

已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 \cos^{2} x - 1, x \in R$

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。
（1）求的周长
（2）求的长
（3）若直线的斜率为1，求b的值。

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