如图，椭圆的中心为原点$O$，长轴在$x$轴上，离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点$F_1$作$x$轴的垂线交椭圆于$A,A`$两点，$\left|AA`\right|=4$．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于$y$轴的直线与椭圆相交于不同的两$P,P`$，过$P,P`$作圆心为$Q$的圆，使椭圆上的其余点均在圆$Q$外．求$△PP`Q$的面积$S$的最大值，并写出对应的圆$Q$的标准方程．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难