如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为
，
与的交点为.
（1）证明：为的中点；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3）若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小.
（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知
是
的直径，
是的切线，
为切点，
，交于点
，连接
、
、
、
，延长交于
.
（1）证明：
；
（2）证明：
.
（本小题满分12分）设函数
，
（其中
为自然对数的底数，
且
），曲线
在点
处的切线方程为
.
（1）求
的值；
（2）若对任意
，
与
有且只有两个交点，求
的取值范围.
（本小题满分12分）已知椭圆
的中心在坐标原点，右焦点为
，
、
是椭圆的左、右顶点，
是椭圆上异于、的动点，且
面积的最大值为
．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在一定点
（
），使得当过点
的直线
与曲线相交于
，
两点时，
为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
| 几何题 |
代数题 |
总计 |
|
| 男同学 |
22 |
8 |
30 |
| 女同学 |
8 |
12 |
20 |
| 总计 |
30 |
20 |
50 |
（1）能否据此判断有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时
间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为
，求的分布列及数学期望
．
下面临界值表仅供参考：
 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
 |
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
.
（本小题满分12分）如图所示，在长方体
中，
，（
），
、
分别是
和
的中点，且
平面
.
（1）求
的值；
（2）求二面角
的余弦值.