已知
是
的导函数，
，且函数的图象过点
．
（1）求函数
的表达式；
（2）求函数
的单调区间和极值．
（本小题满分14分）已知椭圆
（
）的离心率为
，右焦点
到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过椭圆右焦点，斜率为
（
）的直线
与椭圆相交于
、
两点，
为椭圆的右顶点，
直线
，
分别交直线
于点
，
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
，求证：
为定值．
【改编】（本小题满分14分）已知正项数列
的前
项和为
，且
，
，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设
，求
的前项和
；
（3）在（2）的条件下，对任意
，
都成立，求整数
的最大值．
（本小题满分14分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
平面．点
是线段
的中点，点
是线段
上的动点．
（1）若是的中点，求证：
平面
；
（2）求证：
；
（3）若
，
，当三棱锥
的体积等于
时，试判断点在边上的位置，并说明
理由．
（本小题满分12分）某校在一次对学生在课外活动中喜欢跑步和喜欢打球的学生的抽样调查
中，随机抽取了
名同学，相关数据如下表所示：
| 喜欢跑步 |
喜欢打球 |
总计 |
|
| 男生 |
 |
 |
 |
| 女生 |
 |
 |
 |
| 总计 |
 |
 |
|
（1）由表中数据直观分析，喜欢打球的学生是否与性别有关？
（2）用分层抽样的方法在喜欢打球的学生中随机抽取
名，求男学生应该抽取几名？
（3）在上述抽取的名学生中任取
名，求恰有
名女学生的概率．
【原创】（本小题满分12分）已知函数
．
（1）求
的值；
（2）若
，且
，求
的值．