为调查某市老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从-优题课

为调查某市老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该市调查了500位老年人，结果如右表.

性别是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估计该市老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99%的把握认为该市的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
附：(）

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

科目数学题型解答题难度中等

在平面直角坐标系 $x O y$ 中,已知圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ .
（1）若直线 $l$ 过点 $A (4, 0)$ ,且被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ,求直线 $l$ 的方程；

（2）设 $P$ 为平面上的点,满足:存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ,它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交,且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

设 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，满足 ${a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} = {a_{4}}^{2} + {a_{5}}^{2}, S_{7} = 7$ .

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

（2）试求所有的正整数 $m$ ，使得 $\frac{a_{m} a_{m + 1}}{a_{m + 2}}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的项.

如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F$ 分别是 $A_{1} B, A_{1} C$ 的中点，点 $D$ 在 $B_{1} C_{1}$ 上， $A_{1} D ⊥ B_{1} C$ .
求证：（1） $E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）平面 $A_{1} F D ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

设向量 $\overset{⇀}{a} = (4 \cos α, \sin α), \overset{⇀}{b} = (\sin β, 4 \cos β), \overset{⇀}{c} (\cos β, - 4 \sin β)$
（1）若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b} - 2 \overset{⇀}{c}$ 垂直，求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $|\overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}|$ 的最大值;
（3）若 $\tan α t a n β = 16$ ，求证： $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ .

已知以原点 $O$ 为中心的双曲线的一条准线方程为 $x = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，离心率 $e = \sqrt{5}$ ．

（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点 $A$ 的坐标为 $(- \sqrt{5}, 0)$ ， $B$ 是圆 $x^{2^{}} + (y - \sqrt{5})^{2} = 1$ 上的点，点 $M$ 在双曲线右支上，求 $|M A| + |M B|$ 的最小值，并求此时 $M$ 点的坐标.

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