如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为基本图形，且各-优题课

2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取 $50$ 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：

a．成绩频数分布表：

成绩 $x$ （分）	$50 \leq x ＜ 60$	$60 \leq x ＜ 70$	$70 \leq x ＜ 80$	$80 \leq x ＜ 90$	$90 \leq x \leq 100$
频数	$7$	$9$	$12$	$16$	$6$

b．成绩在 $70 \leq x ＜ 80$ 这一组的是（单位：分）：

$70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，成绩的中位数是＿＿＿＿＿＿分，成绩不低于 $80$ 分的人数占测试人数的百分比为＿＿＿＿＿＿．

（2）这次测试成绩的平均数是 $76.4$ 分，甲的测试成绩是 $77$ 分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．

（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．

（1）计算： $\sqrt[3]{27} -$ $（ \frac{1}{3} ）^{0} + 2^{﹣ 1}$ ；

（2）化简： $\frac{x^{2} - 1}{x} \div$ $（ 1 - \frac{1}{x} ）$ ．

如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B ＝ 4 ， A D ＝ 3$ ，点 $O$ 是边 $A B$ 上一个动点（不与点 $A$ 重合），连接 $E G$ $O D$ ，将 $△ O A D$ 沿 $O D$ 折叠，得到 $△ O E D$ ；再以 $O$ 为圆心， $O A$ 的长为半径作半圆，交射线 $A B$ 于 $G$ ，连接 $A E$ 并延长交射线 $B C$ 于 $F$ ，连接，设 $O A ＝ x$ ．

（1）求证： $D E$ 是半圆 $O$ 的切线：

（2）当点 $E$ 落在 $B D$ 上时，求 $x$ 的值；

（3）当点 $E$ 落在 $B D$ 下方时，设 $△ A G E$ 与 $△ A F B$ 面积的比值为 $y$ ，确定 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（4）直接写出：当半圆 $O$ 与 $△ B C D$ 的边有两个交点时， $x$ 的取值范围．

某企业投入 $60$ 万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量 $y$ （万件）与售价 $x$ （元/件）之间满足函数关系式 $y ＝ 24 ﹣ x$ ，第一年除 $60$ 万元外其他成本为 $8$ 元/件．

（1）求该产品第一年的利润 $w$ （万元）与售价x之间的函数关系式；

（2）该产品第一年利润为 $4$ 万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降 $2$ 元/件．

①求该产品第一年的售价；

②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？

小华同学学习函数知识后，对函数 $y = \{\begin{matrix} 4 x^{2} (- 1 ＜ x \leq 0) \\ - \frac{4}{x} (x \leq - 1 或 x ＞ 0) \end{matrix}$ 通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．

x

…

$﹣ 4$

$﹣ 3$

﹣ 2

$﹣ 1$

$- \frac{3}{4}$

$- \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{4}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

…

y

…

$1$

$\frac{4}{3}$

$2$

$4$

$\frac{9}{4}$

$1$

$\frac{1}{4}$

$0$

﹣4

$﹣ 2$

$- \frac{4}{3}$

$﹣ 1$

…

请根据图象解答：

（1）【观察发现】

①写出函数的两条性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

②若函数图象上的两点 $（ x_{1} ， y_{1} ），（ x_{2} ， y_{2} ）$ 满足 $x_{1} + x_{2} ＝ 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} ＝ 0$ 一定成立吗？　＿＿＿＿＿．（填“一定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如图2，将过 $A （ ﹣ 1 ， 4 ）， B （ 4 ， ﹣ 1 ）$ 两点的直线向下平移 $n$ 个单位长度后，得到直线 $l$ 与函数 $y = - \frac{4}{x} （ x \leq ﹣ 1 ）$ 的图象交于点 $P$ ，连接 $P A ， P B$ ．

①求当 $n ＝ 3$ 时，直线 $l$ 的解析式和 $△ P A B$ 的面积；

②直接用含 $n$ 的代数式表示 $△ P A B$ 的面积．