已知函数在上是增函数.⑴求实数的取值范围；⑵当为中最小值时，-优题课

题文

已知函数在上是增函数.
⑴求实数的取值范围；
⑵当为中最小值时，定义数列满足：，且，
用数学归纳法证明，并判断与的大小.

科目数学题型解答题难度较难

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已知以原点 $O$ 为中心， $F (\sqrt{5}, 0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .
（Ⅰ）求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；
（Ⅱ）如题图，已知过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 的直线 $l_{1} :$ $x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $N (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{2} \neq y_{2}$ ）的直线 $l_{2} :$ ： $x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $M N$ 与双曲线的两条渐近线分别交于 $G$ 、 $H$ 两点，求 $\overset{⇀}{O G} \cdot \overset{⇀}{O H}$ 的值.

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = \sqrt{2}$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点.
（Ⅰ）证明： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 1$ ，求二面角 $B - E C - D$

已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + b x$ (其中常数 $a, b \in R$ ), $g (x) = f (x) + f^{`} (x)$ 是奇函数.
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的表达式;
(Ⅱ)讨论 $g (x)$ 的单调性，并求 $g (x)$ 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边长分别为 $a, b, c$ ,且 $3 b^{2} + 3 c^{2} - 3 a^{2} = 4 \sqrt{2} b c$ .
(Ⅰ) 求 $\sin A$ 的值；
(Ⅱ)求 $\frac{2 \sin (A + \frac{π}{4}) \sin (B + C + \frac{π}{4})}{1 - \cos 2 A}$ 的值.

在甲、乙等6个单位参加的一次"唱读讲传"演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：
（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

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