为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的部分学生进行一分-优题课

为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟的跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如下图），已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.
（1）求第四小组的频率；
（2）参加这次测试的学生有多少人；
（3）若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率约为多少.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：误差估计

在一个特定时段内, 以点 $E$ 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点 $E$ 正北55海里处有一个雷达观测站 $A$ .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 $A$ 北偏东 $45^{\circ}$ 且与点 $A$ 相距 $40 \sqrt{2}$ 海里的位置 $B$ ,经过40分钟又测得该船已行驶到点 $A$ 北偏东 $45^{\circ} + θ$ (其中 $\sin θ = \frac{\sqrt{26}}{26}, 0^{\circ} < θ < 90^{\circ}$ )且与点 $A$ 相距 $10 \sqrt{13}$ 海里的位置C.

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

$数列 \{a_{n}\} 满足 a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} = (1 + \cos^{2} \frac{nπ}{2}) a_{n} + \sin^{2} \frac{nπ}{2}, n = 1, 2, 3, \dots \dots .$

（Ⅰ） $求 a_{3}, a_{4}, 并求数列 \{a_{n}\} 的通项公式;$

（II） $设 b_{n} = \frac{a_{2 n - 1}}{a_{2 n}}, S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots \dots + b_{n} . 证明: 当 n \geq 6 时, |S_{n} - 2| < \frac{1}{n} .$

如图所示，四棱锥 $P - ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 1 的菱形， $∠ BCD = 60^{\circ}$ , $E$ 是 $CD$ 的中点, $PA ⊥$ 底面 $ABCD, PA = 2$ .

（I）证明: 平面 $PBE ⊥$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ , 且面试是否合格互不影响.

求: ( I ) 至少有 1 人面试合格的概率;

( II ) 签约人数 $ξ$ 的分布列和数学期望.

(1) 求 $7 C_{6}^{3} - 4 C_{7}^{4}$ 的值;

(2) 设 $m, n \in N^{*}, n ⩾ m$ , 求证:

$(m + 1) C_{m}^{m} + (m + 2) C_{m + 1}^{m} + (m + 3) C_{m + 2}^{m} + \dots + n C_{n - 1}^{m} + (n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 2}^{m + 2}$

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