计算：(1)（2）（3）-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的顶点坐标为 $(2, 9)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A (0, 5)$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ 、 $B$ ．

（1）求二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的表达式；

（2）过点 $A$ 作 $AC$ 平行于 $x$ 轴，交抛物线于点 $C$ ，点 $P$ 为抛物线上的一点（点 $P$ 在 $AC$ 上方），作 $PD$ 平行于 $y$ 轴交 $AB$ 于点 $D$ ，问当点 $P$ 在何位置时，四边形 $APCD$ 的面积最大？并求出最大面积；

（3）若点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在其对称轴上，使得以 $A$ 、 $E$ 、 $N$ 、 $M$ 为顶点的四边形是平行四边形，且 $AE$ 为其一边，求点 $M$ 、 $N$ 的坐标．

某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元 $/$ 个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．

（1）求两种球拍每副各多少元？

（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$ 的顶点 $O$ 与坐标原点重合，点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上，点 $D$ 、 $M$ 分别在边 $AB$ 、 $OA$ 上，且 $AD = 2 DB$ ， $AM = 2 MO$ ，一次函数 $y = kx + b$ 的图象过点 $D$ 和 $M$ ，反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象经过点 $D$ ，与 $BC$ 的交点为 $N$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 在直线 $DM$ 上，且使 $ΔOPM$ 的面积与四边形 $OMNC$ 的面积相等，求点 $P$ 的坐标．

如图1，抛物线 $y = - \frac{3}{5} [{(x - 2)}^{2} + n]$ 与 $x$ 轴交于点 $A (m - 2, 0)$ 和 $B (2 m + 3, 0)$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ．

（1）求 $m$ 、 $n$ 的值；

（2）如图2，点 $N$ 为抛物线上的一动点，且位于直线 $BC$ 上方，连接 $CN$ 、 $BN$ ．求 $ΔNBC$ 面积的最大值；

（3）如图3，点 $M$ 、 $P$ 分别为线段 $BC$ 和线段 $OB$ 上的动点，连接 $PM$ 、 $PC$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使 $ΔPCM$ 为等腰三角形， $ΔPMB$ 为直角三角形同时成立？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 $A$ 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少 $10 %$ ，求：

（1） $A$ 型自行车去年每辆售价多少元？

（2）该车行今年计划新进一批 $A$ 型车和新款 $B$ 型车共60辆，且 $B$ 型车的进货数量不超过 $A$ 型车数量的两倍．已知 $A$ 型车和 $B$ 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划 $B$ 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？