已知,
,且向量
与
不共线.
(1)若与
的夹角为
,求
;
(2)若向量与
互相垂直,求
的值.
设各项均为正实数的数列的前
项和为
,且满足
(
).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的通项公式为
(
),若
,
,
(
)成等差数列,求
和
的值;
(Ⅲ)证明:存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形,其三边长为数列中的三项
,
,
.
已知椭圆过点
,且它的离心率
.直线
与椭圆
交于
、
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)当时,求证:
、
两点的横坐标的平方和为定值;
(Ⅲ)若直线与圆
相切,椭圆上一点
满足
,求实数
的取值范围.
提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流
速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过50辆/千米时,车流速度为30千米/小时.研究表明:当50<x≤200时,车流速度v与车流密度x满足.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时.
(Ⅰ)当0<x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(Ⅱ)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:
辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据)
直三棱柱中,
,
,
、
分别为
、
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求四面体的体积.
函数在一个周期内的图象如图所示,
为
图象的最高点,、
为图象与
轴的交点,且
为正三角形.
(Ⅰ)求的值及函数
的值域;
(Ⅱ)若,且
,求
的值.