已知函数
的最大值为
．
（Ⅰ）求常数
的值；
（Ⅱ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅲ）若将的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求函数在区间
上的最大值和最小值．
（本小题满分14分）如图，
、
为椭圆
的左、右焦点，
、
是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率
，
．若
在椭圆
上，则点
称为点
的一个“椭点”．直线
与椭圆交于
、
两点， 、两点的“椭点”分别为
、
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过左焦点的直线，使得以
为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线方程，若不存在，是说明理由．
（本小题满分13分）设函数
．
（Ⅰ）若函数
在定义域上为增函数，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）求函数的极值点．
（本小题满分12分）已知数列
的前n项和是
，且
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记
，数列
的前
项和
，证明
．
（本小题满分12分）如图1所示的梯形
中，
，
，且
，如图2，沿
将四边形
折起，使得面与面
垂直，
为
的中点．
（Ⅰ）求证：平面
平面
（Ⅱ）求证:
．
（本小题满分12分）随着教育改革的不断深入，各学校加大对学生综合素质的培养，为了丰富同学们的课余生活，某重点中学结合学校实际开展了诸多社团活动，为更好地开展社团活动，学校计划成立社团活动指导小组，想从“航模”，“乒乓球”，“声乐”，“社交礼仪”四个社团中利用分层抽样的方法抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表（单位：人）
| 社团 |
相关人数 |
抽取人数 |
| 航模 |
32 |
 |
| 乒乓球 |
24 |
3 |
| 声乐 |
 |
5 |
| 社交礼仪 |
16 |
 |
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）若从“航模”与“社交礼仪”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．