如图，在矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm．点P从点D出-优题课

如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s．连结PQ，AQ，CP.设点P、Q运动的时间为t（s）.

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形．
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

某茶农要对1号、2号、3号、4号四个品种共500株茶树幼苗进行成活实验，从中选出成活率高的品种进行推广，通过实验得知，3号茶树幼苗成活率为 $89.6 %$ ，把实验数据绘制成图1和图2所示的两幅不完整的统计图．

（1）实验所用的2号茶树幼苗的数量是　　株；

（2）求出3号茶树幼苗的成活数，并补全统计图2；

（3）该茶农要从这四种茶树中选择两个品种进行推广，请用列表或画树状图的方法求出1号品种被选中的概率．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2, 0)$ ，且经过点 $(4, 1)$ ，如图，直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l$ 为 $y = - 1$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$ 上是否存在一点 $P$ ，使 $PA + B$ 取得最小值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F (x_{0}$ ， $y_{0})$ 为平面内一定点， $M (m, n)$ 为抛物线上一动点，且点 $M$ 到直线 $l$ 的距离与点 $M$ 到点 $F$ 的距离总是相等，求定点 $F$ 的坐标．

如图， $AB$ 为圆 $O$ 的直径， $C$ 为圆 $O$ 上一点， $D$ 为 $BC$ 延长线一点，且 $BC = CD$ ， $CE ⊥ AD$ 于点 $E$ ．

（1）求证：直线 $EC$ 为圆 $O$ 的切线；

（2）设 $BE$ 与圆 $O$ 交于点 $F$ ， $AF$ 的延长线与 $CE$ 交于点 $P$ ，已知 $∠ PCF = ∠ CBF$ ， $PC = 5$ ， $PF = 4$ ，求 $\sin ∠ PEF$ 的值．

如图，已知反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象经过点 $(1, 4)$ ，一次函数 $y = - x + b$ 的图象经过反比例函数图象上的点 $Q (- 4, n)$ ．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）一次函数的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 $P$ 点，连接 $OP$ 、 $OQ$ ，求 $ΔOPQ$ 的面积．

某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 $AB$ 、 $CD$ 均垂直于地面，点 $E$ 在线段 $BD$ 上，在 $C$ 点测得点 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，点 $E$ 的俯角也为 $30 °$ ，测得 $B$ 、 $E$ 间距离为10米，立柱 $AB$ 高30米．求立柱 $CD$ 的高（结果保留根号）

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