已知在中,D是AB上一点,
的外接圆交BC于E,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若CD平分,且
,求BD的长.
(本小题满分14分)已知函数其中
为常数,函数
和
的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若不等式在区间
上恒成立,求实数
的取值范围.
(本小题满分13分)已知A(-2,0),B(2,0)为椭圆C的左、右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A,B的动点,且APB面积的最大值为2
.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当直线AP绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.
(本小题满分13分)已知四棱锥中,
,底面
是边长为
的菱形,
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)设与
交于点
,
为
中点,若二面角
的正切值为
,求
的值.
(本小题满分13分)某工厂生产A,B两种型号的玩具,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种玩具各100件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 |
[70,76) |
[76,82) |
[82,88) |
[88,94) |
[94,100) |
玩具A |
8 |
12 |
40 |
32 |
8 |
玩具B |
7 |
18 |
40 |
29 |
6 |
(Ⅰ)试分别估计玩具A、玩具B为正品的概率;
(Ⅱ)生产一件玩具A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件玩具B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元.在(I)的前提下,
(i)记X为生产1件玩具A和1件玩具B所得的总利润,求随机变量X的分布列和数学期望;
(ii)求生产5件玩具B所获得的利润不少于140元的概率.
(本小题满分13分)已知向量 ,记
(Ⅰ)若 ,求
的值;
(Ⅱ)将函数 的图象向右平移
个单位得到
的图象,若函数
在
上有零点,求实数k的取值范围.