如图，对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a+b= ．
已知
是首项为19，公差为-2的等差数列，
为的前
项和.
（1）求通项
及；
（2）设
是首项为1，公比为3的等比数列，求数列
的通项公式及其前项和
.
（本小题满分14分）
(1) 证明：当
时，不等式
成立；
(2) 要使上述不等式成立，能否将条件“”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；
(3)请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明．
（本小题满分14分）
已知
，数列
的前
项的和记为
.
（1） 求
的值，猜想的表达式；
（2） 请用数学归纳法证明你的猜想.
（本小题满分14分）
已知
的展开式中所有项的系数和是243.
（1） 求
值，并求展开式中二项式系数最大的项；
（2） 求
值.
（本小题满分14分）
已知：
， 求证：
.