（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方-优题课

题文

（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．

（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：空间向量基本定理及坐标表示

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已知 $q$ 和 $n$ 均为给定的大于1的自然数，设集合 $M = {0, 1, 2, \dots, q - 1}$ ，集合 $A = {x | x = x_{1} + x_{2} q + \dots + x_{n} q_{n} ﹣ 1 ， x_{i} \in M, i = 1, 2, \dots n}$ .

（Ⅰ）当 $q = 2, n = 3$ 时，用列举法表示集合 $A$ ；

（Ⅱ）设 $s, t \in A$ ， $s = a_{1} + a_{2} q + \dots + a_{n} q^{n ﹣ 1}, t = b_{1} + b_{2} q + \dots + b_{n} q^{n ﹣ 1}$ ，其中 $a_{i}, b_{i} \in M$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ .证明：若 $a_{n} ＜ b_{n}$ ，则 $s < t$ .

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C D, A D ⊥ A B, A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

（1）证明： $B E ⊥ D C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；
（3）若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F \land A C$ ，求二面角 $F F - A B - P$ 的余弦值．

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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