如图，ACAD，BCBD，求证：AB平分∠CAD．-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC = 5$ ， $BC = 6$ ，以 $AB$ 为直径作 $⊙ O$ 分别交于 $AC$ ， $BC$ 于点 $D$ ， $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线 $EF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $ΔCDB$ 的中位线；

（2）求 $EF$ 的长．

某校有20名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文比赛，成绩分别记为60分、70分、80分、90分、100分，为方便奖励，现统计出80分、90分、100分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设70分所对扇形圆心角为 $α$ ．

（1）若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是　　；

（2）当 $α = 108 °$ 时，求成绩是60分的人数；

（3）设80分为唯一众数，求这20名同学的平均成绩的最大值．

如图，已知等腰 $ΔABC$ 顶角 $∠ A = 36 °$ ．

（1）在 $AC$ 上作一点 $D$ ，使 $AD = BD$ （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）；

（2）求证： $ΔBCD$ 是等腰三角形．

如果抛物线 $C_{1}$ 的顶点在拋物线 $C_{2}$ 上，抛物线 $C_{2}$ 的顶点也在拋物线 $C_{1}$ 上时，那么我们称抛物线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线 $C_{1} : y_{1} = \frac{1}{4} x^{2} + x$ 与 $C_{2} : y_{2} = a x^{2} + x + c$ 是“互为关联”的拋物线，点 $A$ ， $B$ 分别是抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的顶点，抛物线 $C_{2}$ 经过点 $D (6, - 1)$ ．

（1）直接写出 $A$ ， $B$ 的坐标和抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

（2）抛物线 $C_{2}$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $ΔABE$ 是直角三角形？如果存在，请求出点 $E$ 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点 $F (- 6, 3)$ 在抛物线 $C_{1}$ 上，点 $M$ ， $N$ 分别是抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且点 $M$ ， $N$ 的横坐标相同，记 $ΔAFM$ 面积为 $S_{1}$ （当点 $M$ 与点 $A$ ， $F$ 重合时 $S_{1} = 0)$ ， $ΔABN$ 的面积为 $S_{2}$ （当点 $N$ 与点 $A$ ， $B$ 重合时， $S_{2} = 0)$ ，令 $S = S_{1} + S_{2}$ ，观察图象，当 $y_{1} ⩽ y_{2}$ 时，写出 $x$ 的取值范围，并求出在此范围内 $S$ 的最大值．

如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 边上的一个动点（点 $E$ 与点 $A$ ， $B$ 不重合），连接 $CE$ ，过点 $B$ 作 $BF ⊥ CE$ 于点 $G$ ，交 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔABF ≅ ΔBCE$ ；

（2）如图2，当点 $E$ 运动到 $AB$ 中点时，连接 $DG$ ，求证： $DC = DG$ ；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $C$ 作 $CM ⊥ DG$ 于点 $H$ ，分别交 $AD$ ， $BF$ 于点 $M$ ， $N$ ，求 $\frac{MN}{NH}$ 的值．