（本题9分）如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边-优题课

已知抛物线 $L : y = m x^{2} - 8 x + 3 m$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 和 $B (- 1, 0)$ 两点，并与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．抛物线 $L'$ 与 $L$ 关于坐标原点对称，点 $A$ 、 $B$ 在 $L'$ 上的对应点分别为 $A'$ 、 $B'$

（1）求抛物线 $L$ 的函数表达式；

（2）在抛物线 $L'$ 上是否存在点 $P$ ，使得△ $P A^{'} A$ 的面积等于△ $C B^{'} B$ 的面积？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $\hat{AD} = \hat{CD}$ ，过点 $D$ 作 $CB$ 的垂线，与 $CB$ 的延长线相交于点 $E$ ，并与 $AB$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径 $R = 5$ ， $AC = 8$ ，求 $DF$ 的长．

为了继承和发扬延安精神，满足青少年热爱红色革命根据地，了解延安革命历程的愿望，相关部门在当地中小学选拔了一批优秀共青团员和少先队员，组织他们利用节假日，在红色革命旧址（纪念馆）做“小小讲解员”，每位“小小讲解员”都要通过抽签的方式确定各自的讲解地点．讲解地点有： $A$ ．枣园革命旧址， $B$ ．杨家岭革命旧址， $C$ ．延安革命纪念馆， $D$ ．鲁艺学院旧址．抽签规则如下：

将正面分别写有字母 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位“小小讲解员”随机抽取一张卡片，这张卡片上的字母表示的讲解地点，即为他抽取的讲解地点，然后将卡片放回，洗匀，再由下一位“小小讲解员”抽取．已知小明和小亮都是“小小讲解员”．

（1）求小明抽到的讲解地点是“ $A$ ．枣园革命旧址”的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮抽到同一讲解地点的概率．

一天，小华爸爸开车带全家到西安游玩，实现爷爷奶奶想看大雁塔，游大唐芙蓉园的愿望，由导航可知，从小华家到西安大雁塔的路程为 $370 km$ ，他们全家早上 $7 : 00$ 从家出发，途中他们在一个服务区短暂休息之后，继续行驶，在上午 $10 : 00$ 时，他们距离西安大雁塔还有 $175 km$ ，如图是他们从家到西安大雁塔的过程中，行驶路程 $y (km)$ 与所用时间 $x (h)$ 之间的函数图象，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）求小华一家在服务区休息了多长时间？

（2）求 $BC$ 所在直线的函数表达式，并求小华一家这天几点到达西安大雁塔？

如图所示，某集团的项目组计划在山脚下 $A$ 点与山顶 $B$ 点之间修建一条索道，现利用无人机测算 $A$ 、 $B$ 两点间的距离．无人机飞至山顶点 $B$ 的正上方点 $C$ 处时，测得山脚下 $A$ 点的俯角约为 $45 °$ ， $C$ 点与 $A$ 点的高度差为 $400 m$ ， $BC = 100 m$ ，求山脚下 $A$ 点到山顶 $B$ 点的距离 $AB$ ．