已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
．
（本大题12分，）如图，三棱柱
的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求直线
与平面所成的角的正弦值．
（本小题满分12分）设函数
,其中
,
,x∈R.
（I）求
的值及函数
的最大值；
（II）求函数的单调递增区间.
（本小题满分12分） 古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（
）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)写出a1，a2，a3，并求出an；
(2)记
，求和
（
）；（其中
表示所有的积
的和）
(3)证明：
（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，线段AB与y轴交于点
，直线AB的斜率为k，且满足
（1）证明：对任意的实数
，一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C，并求出抛物线C的方程；
（2）对（1）中的抛物线C，若直线
与其交于M、N两点，求∠MON的取值范围．
（本小题满分12分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，……，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第
层第
个竖直通道（从左至右）的概率为
．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
（Ⅰ）求
的值，并猜想的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为
，其中
，试求的分布列及数学期望．