解方程（每题4分，共8分）（1）（2）-优题课

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + 3$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$ 是直线 $BC$ 下方抛物线上的一动点，求 $ΔBCP$ 面积的最大值；

（3）直线 $x = m$ 分别交直线 $BC$ 和抛物线于点 $M$ ， $N$ ，当 $ΔBMN$ 是等腰三角形时，直接写出 $m$ 的值．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ．

（1）如图1，点 $E$ ， $F$ 在 $AB$ ， $AC$ 上，且 $∠ EDF = 90 °$ ．求证： $BE = AF$ ；

（2）点 $M$ ， $N$ 分别在直线 $AD$ ， $AC$ 上，且 $∠ BMN = 90 °$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $AD$ 的延长线上时，求证： $AB + AN = \sqrt{2} AM$ ；

②当点 $M$ 在点 $A$ ， $D$ 之间，且 $∠ AMN = 30 °$ 时，已知 $AB = 2$ ，直接写出线段 $AM$ 的长．

在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．

（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？

（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？

为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“ $A$ ．奶制品类， $B$ ．肉制品类， $C$ ．面制品类， $D$ ．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：

（1）这次抽查了四类特色美食共　　种，扇形统计图中 $a =$ 　　，扇形统计图中 $A$ 部分圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）如果全省共有这四类特色美食120种，请你估计约有多少种属于“豆制品类”？

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A (- 4, 4)$ ， $B (- 2, 5)$ ， $C (- 2, 1)$ ．

（1）平移 $ΔABC$ ，使点 $C$ 移到点 $C_{1} (- 2, - 4)$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标；

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $(0, 3)$ 旋转 $180 °$ ，得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出旋转后的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（3）求（2）中的点 $C$ 旋转到点 $C_{2}$ 时，点 $C$ 经过的路径长（结果保留 $π)$ ．