如图，点A是反比例函数上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB-优题课

如图，点A是反比例函数上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A坐标为(-1，m)。

(1)求k和m的值。
(2)若直线经过点A，交另一支双曲线于点C，求△AOC的面积。
(3)指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出结果。
(4)在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6，如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：平行线分线段成比例

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与直线AB交于点 $A （ 0, ﹣ 4 ）$ ， $B （ 4, 0 ）$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作 $x$ 轴的平行线交AB于点C，过点P作 $y$ 轴的平行线交 $x$ 轴于点D，求 $P C + P D$ 的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中 $P C + P D$ 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与 $y$ 轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如： $M ＝ 2543$ ，∵ $3^{2} + 4^{2} = 25$ ，∴2543是“勾股和数”；

又如： $M ＝ 4325$ ，∵ $5^{2} + 2^{2} = 29$ ， $29 \neq 43$ ，∴4325不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记 $G （ M ） = \frac{c + d}{9}$ ， $P （ M ） = \frac{|10 (a - c) + (b - d)|}{3}$ ．当 $G （ M ）$ ， $P （ M ）$ 均是整数时，求出所有满足条件的M．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $A C ＝ 200 米$ ．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $B D ＝ 100 米$ ．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．

（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；

（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．

已知一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象相交于点 $A (1, m)$ ， $B (n, ﹣ 2)$ ．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

（2）根据函数图象，直接写出不等式 $kx + b ＞ \frac{4}{x}$ 的解集；

（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．