已知函数．（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）函数的-优题课

题文

已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）函数的图像可由的图像如何变换得来，请详细说明．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角函数的恒等变换多面角及多面角的性质

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平面内与两定点 $A_{1} (- a, 0), A_{2} (a, 0) (a > 0)$ 连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}, A_{2}$ 两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；
（2）当 $m = - 1$ 时，对应的曲线为 $C_{1}$ ；对给定的 $m \in (- 1, 0) \cup (0, + \infty)$ 对应的曲线为 $C_{2}$ ，设 $F_{1}, F_{2}$ 是 $C_{2}$ 的两个焦点．试问：在 $C_{1}$ 上，是否存在点N，使得 $∆ F_{1} N F_{2}$ 的面积 $S = |m| a^{2}$ ．若存在，求 $\tan F_{1} N F_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足： $a_{1} = a (a \neq 0)$ ， $a_{n + 1} = r S_{n} (n \in N^{*}, r \in R, r \neq - 1)$ ．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）若存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $S_{k + 1}, S_{k}, S_{k + 2}$ 成等差数列，试判断：对于任意的 $m \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $a_{m + 1}, a_{m}, a_{m + 2}$ 是否成等差数列，并证明你的结论．

如图，已知正三棱柱 $A B C = A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长都是4， $E$ 是 $B C$ 的中点，动点 $F$ 在侧棱 $C C_{1}$ 上，且不与点 $C$ 重合．
（1）当 $C F = 1$ 时，求证： $E F ⊥ A_{1} C$ ；
（2）设二面角 $C - A F - E$ 的大小为 $θ$ ，求 $\tan θ$ 的最小值．

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）是车流密度 $x$ （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当 $20 \leq x \leq 200$ 时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数 $v (x)$ 的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） $f (x) = x \cdot v (x)$ 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$

（1）求 $△ A B C$ 的周长；
（2）求 $\cos (A - C)$ 的值．

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