Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30o、60o角的三-优题课

Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30^o、60^o角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；
（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△位置，直线与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想．
（3）在（2）的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形（不要求证明）.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC ， ∠ B = 90^{\circ} ， AB = 6 \sqrt{3} cm ， AD = 18 cm ， BC = 24 cm$ .点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1 cm / s$ 的速度向 $D$ 点运动；点 $Q$ 从点 $C$ 同时出发，以 $3 cm / s$ 的速度向点 $B$ 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为 $t (s)$ .

（1） $t$ 为何值时，四边形 $ABQP$ 是矩形?

（2） $t$ 为何值时，四边形 $PQCD$ 是平行四边形?

（3）在其它条件不变的情况下，能否通过改变点 $Q$ 的运动速度，使得四边形 $PQCD$ 是菱形?

设 $x = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} ， y = \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} ， n$ 为自然数，如果 $2 x^{2} + 197 xy + 2 y^{2} = 1993$ 成立，求 $n$ 的值.

为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

（1）若甲用户 $3$ 月份的用气量为 $60 m^{3}$ ，则应缴费＿＿＿＿＿元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为 $y$ （元），每月的用气量为 $x$ （ $m^{3}$ ）， $y$ 与 $x$ 之间的关系如下图所示，求 $a$ 的值及 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户 $2 ， 3$ 月份共用气 $175 m^{3}$ （ $3$ 月份用气量低于 $2$ 月份用气量），共缴费 $455$ 元，乙用户 $2 ， 3$ 月份的用气量各是多少？

某商场计划采购甲、乙、丙三种型号的“格力”牌空调共 $25$ 台.三种型号的空调进价和售价如下表：

商场计划投入总资金 $5$ 万元，所购进的甲、丙型号空调数量相同，乙型号数量不超过甲型号数量的一半，若设购买甲型号空调 $x$ 台，所有型号空调全部售出后获得的总利润为 $W$ 元.

（1）求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）商场如何采购空调才能获得最大利润

（3）由于原材料上涨，商场决定将丙型号空调的售价提高 $a$ 元（ $a \geq 100$ ），其余型号售价不变，则商场又该如何采购才能获得最大利润？

如图，从如图①所示的等边三角形开始，把它各边分成相等的三段，在中间一段上向外画出一个小等边三角形，形成如图②所示的六角星图形；再在六角星各边上用同样的方法向外画出更小的等边三角形，形成如图③所示的有 $18$ 个尖角的图形，然后，在其各边上再用同样的方法向外画出更小的等边三角形如图④，如此继续下去，图形的轮廓就能形成分支越来越多的曲线，这就是瑞典数学家科赫将雪花理想化得到的科赫雪花曲线.

如果设原等边三角形的边长为 $a$ ，不妨把每一次图形的变化过程叫做“生长”，例如第一次生长后得到图②，每个小等边三角形的边长为 $\frac{1}{3} a$ ，所形成的图形的周长为 $4 a$ ，请填写下表（用含 $a$ 的代数式表示）.

	第一次生长后	第二次生长后	第三次生长后	…	第 $n$ 次生长后
每个小等边三角形的边长	$\frac{1}{3} a$			…
所形成图形的周长	$4 a$			…