为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对-优题课

为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

（1）若甲用户 $3$ 月份的用气量为 $60 m^{3}$ ，则应缴费＿＿＿＿＿元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为 $y$ （元），每月的用气量为 $x$ （ $m^{3}$ ）， $y$ 与 $x$ 之间的关系如下图所示，求 $a$ 的值及 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户 $2 ， 3$ 月份共用气 $175 m^{3}$ （ $3$ 月份用气量低于 $2$ 月份用气量），共缴费 $455$ 元，乙用户 $2 ， 3$ 月份的用气量各是多少？

科目数学题型解答题难度较难

解方程： $\frac{x}{x - 1} = \frac{4}{x^{2} - 1} + 1$ ．

已知 $D$ 是 $Rt Δ ABC$ 斜边 $AB$ 的中点， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 30 °$ ，过点 $D$ 作 $Rt Δ DEF$ 使 $∠ DEF = 90 °$ ， $∠ DFE = 30 °$ ，连接 $CE$ 并延长 $CE$ 到 $P$ ，使 $EP = CE$ ，连接 $BE$ ， $FP$ ， $BP$ ，设 $BC$ 与 $DE$ 交于 $M$ ， $PB$ 与 $EF$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $EB = EP$ ；

② $∠ EFP = 30 °$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $BF$ ，求证： $∠ BFD + ∠ EFP = 30 °$ ．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2}$ 过点 $A (- 3, \frac{9}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线 $l$ 过点 $A$ ， $M (\frac{3}{2}$ ， $0)$ 且与抛物线交于另一点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，求证： $M C^{2} = MA \cdot MB$ ；

（3）若点 $P$ ， $D$ 分别是抛物线与直线 $l$ 上的动点，以 $OC$ 为一边且顶点为 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $D$ 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 $P$ 点坐标．

如图，已知 $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点， $D$ 是 $AB$ 上的一点， $DE ⊥ AB$ 于 $D$ ， $DE$ 交 $BC$ 于 $F$ ，且 $EF = EC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = 4$ ， $BC = 8$ ，圆的半径 $OB = 5$ ，求切线 $EC$ 的长．

今年 $2 - 4$ 月某市出现了200名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．

（1）轻症患者的人数是多少？

（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？

（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？

（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中 $B$ 、 $D$ 两位患者的概率．

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