进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上的一点， $AB = DB$ ， $BE$ 平分 $∠ ABC$ ，交 $AC$ 边于点 $E$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔDBE$ ；

（2）若 $∠ A = 100 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ AEB$ 的度数．

解不等式组 $\{\begin{matrix} x > \frac{1 - x}{2} \\ 3 (x - \frac{7}{3}) < x + 1 \end{matrix}$ ，并求此不等式组的整数解．

已知： $x \neq y$ ， $y = - x + 8$ ，求代数式 $\frac{x^{2}}{x - y} + \frac{y^{2}}{y - x}$ 的值．

如图1，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 8 a$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 4)$ ．

（1）点 $A$ 的坐标为　　，点 $B$ 的坐标为　　，线段 $AC$ 的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点 $P$ 是线段 $BC$ 下方抛物线上的一个动点．

①如果在 $x$ 轴上存在点 $Q$ ，使得以点 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形．求点 $Q$ 的坐标．

②如图2，过点 $P$ 作 $PE / / CA$ 交线段 $BC$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作直线 $x = t$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，交 $x$ 轴于点 $G$ ，记 $PE = f$ ，求 $f$ 关于 $t$ 的函数解析式；当 $t$ 取 $m$ 和 $4 - \frac{1}{2} m (0 < m < 2)$ 时，试比较 $f$ 的对应函数值 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的大小．

如图，点 $I$ 是 $ΔABC$ 的内心， $BI$ 的延长线与 $ΔABC$ 的外接圆 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，与 $AC$ 交于点 $E$ ，延长 $CD$ 、 $BA$ 相交于点 $F$ ， $∠ ADF$ 的平分线交 $AF$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $DG / / CA$ ；

（2）求证： $AD = ID$ ；

（3）若 $DE = 4$ ， $BE = 5$ ，求 $BI$ 的长．