甲、乙两人玩一种抽卡片游戏，将背面完全相同，正面分别写有1、-优题课

甲、乙两人玩一种抽卡片游戏，将背面完全相同，正面分别写有1、2、3、4的四张卡片背面朝上混合后，甲从中随机抽取一张，记下数字，把卡片放回后，乙再从中随机抽取一张，记下数字，如果所得两数之和大于4，则甲胜；如果所得两数之和不大于4，则乙胜。
⑴请用列表法或画树状图的方法，分别求甲、乙获胜的概率来说明游戏公平吗？
⑵按游戏规则求甲、乙各取一次卡片，取出的数字相同的概率。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

如图， $⊙ O$ 为锐角 $ΔABC$ 的外接圆，半径为5．

（1）用尺规作图作出 $∠ BAC$ 的平分线，并标出它与劣弧 $\hat{BC}$ 的交点 $E$ （保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的点 $E$ 到弦 $BC$ 的距离为3，求弦 $CE$ 的长．

为了测量竖直旗杆 $AB$ 的高度，某综合实践小组在地面 $D$ 处竖直放置标杆 $CD$ ，并在地面上水平放置一个平面镜 $E$ ，使得 $B$ ， $E$ ， $D$ 在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的 $F$ 处通过平面镜 $E$ 恰好观测到旗杆顶 $A$ （此时 $∠ AEB = ∠ FED)$ ，在 $F$ 处测得旗杆顶 $A$ 的仰角为 $39.3 °$ ，平面镜 $E$ 的俯角为 $45 °$ ， $FD = 1.8$ 米，问旗杆 $AB$ 的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据： $\tan 39.3 ° \approx 0.82$ ， $\tan 84.3 ° \approx 10.02)$

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} \times \frac{0}{2} = 1$ ，

第2个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 1$ ，

第3个等式： $\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} = 1$ ，

第4个等式： $\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = 1$ ，

第5个等式： $\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{6} = 1$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{1}{6} + \frac{5}{7} + \frac{1}{6} \times \frac{5}{7} = 1$ 　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 $10 \times 10$ 网格中，已知点 $O$ ， $A$ ， $B$ 均为网格线的交点．

（1）在给定的网格中，以点 $O$ 为位似中心，将线段 $AB$ 放大为原来的2倍，得到线段 $A_{1} B_{1}$ （点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1})$ ，画出线段 $A_{1} B_{1}$ ；

（2）将线段 $A_{1} B_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A_{2} B_{1}$ ，画出线段 $A_{2} B_{1}$ ；

（3）以 $A$ ， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $A_{2}$ 为顶点的四边形 $A A_{1} B_{1} A_{2}$ 的面积是　　个平方单位．

《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？

大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？