已知：在△ABC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB-优题课

已知：在△ABC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．

（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB= °，∠AEC= °；
（2）如图2．①求证：AE＋AC=BC； ②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三角形的五心

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ， $BE ⊥ AC$ 于点 $E$ ， $AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$ ， $BH ⊥ AB$ 于点 $B$ ，点 $M$ 是 $BC$ 的中点，连接 $FM$ 并延长交 $BH$ 于点 $H$ ．

（1）如图①所示，若 $∠ ABC = 30 °$ ，求证： $DF + BH = \frac{\sqrt{3}}{3} BD$ ；

（2）如图②所示，若 $∠ ABC = 45 °$ ，如图③所示，若 $∠ ABC = 60 °$ （点 $M$ 与点 $D$ 重合），猜想线段 $DF$ 、 $BH$ 与 $BD$ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

小明放学后从学校回家，出发5分钟时，同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了，立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明，小强出发10分钟时，小明才想起没拿数学作业卷，马上以原速原路返回，在途中与小强相遇．两人离学校的路程 $y$ （米 $)$ 与小强所用时间 $x$ （分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）求函数图象中 $a$ 的值；

（2）求小强的速度；

（3）求线段 $AB$ 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：

（1）求本次调查中共抽取的学生人数；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是　　；

（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ 、点 $B (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求拋物线的解析式；

（2）过点 $D (0, 3)$ 作直线 $MN / / x$ 轴，点 $P$ 在直线 $MN$ 上且 $S_{ΔPAC} = S_{ΔDBC}$ ，直接写出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴上， $AB$ 、 $BC$ 的长分别是一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个根 $(BC > AB)$ ， $OA = 2 OB$ ，边 $CD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$ 出发沿折线段 $AD - DE$ 向点 $E$ 运动，运动的时间为 $t (0 ⩽ t ⩽ 6)$ 秒，设 $ΔBPE$ 的面积为 $S$ ．

（1）求点 $D$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点 $P$ 运动的过程中，是否存在点 $P$ ，使 $ΔBEP$ 是以 $BE$ 为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．